Uma processo estocástico é uma entidade matemática usada para representar a evolução de um sistema ao longo do tempo governada por leis probabilísticas, em vez de regras determinísticas. Diferentemente de uma única variável aleatória, definimo-la fundamentalmente como uma coleção de variáveis aleatórias $\{X_n : n \in T\}$ indexadas pelo tempo. Nesta lição, focamos no Caminhada Aleatória Simples (CAS)—um modelo de tempo discreto que simula o patrimônio de um jogador, começando com um valor inicial ($a$) e avançando por meio de apostas independentes.
1. Os Mecanismos de uma Caminhada Aleatória Simples
Expressamos o estado da caminhada no tempo $n$ como a soma de incrementos independentes:
$$X_n = a + Z_1 + Z_2 + \dots + Z_n$$
onde cada $Z_i$ representa o resultado de uma aposta: $+1$ (vitória) com probabilidade $p$, e $-1$ (derrota) com probabilidade $q = 1-p$.
Seja $\{X_n\}$ uma caminhada aleatória simples. Se $k$ for um inteiro tal que $-n \leq k \leq n$ e $n + k$ for par, então a probabilidade de estar no estado $a+k$ após $n$ passos é:
$$P(X_n = a+k) = \binom{n}{\frac{n+k}{2}} p^{(n+k)/2} q^{(n-k)/2}$$
Armadilha Crítica: Para todos os outros valores de $k$ (onde $n+k$ é ímpar ou $|k| > n$), $P(X_n = a + k) = 0$. Esse "teste de paridade" garante que você só pode alcançar estados específicos com base no número de passos dados.
2. Expectativa e Equidade
A trajetória média do processo depende da probabilidade $p$. O valor esperado no tempo $n$ é dado por:
$E(X_n) = a + n(2p - 1)$
- Jogo Justo ($p = 1/2$): O processo é um Martingale. Em média, o patrimônio permanece constante: $E(X_{n+1} - X_n | X_n) = 0$.
- Jogo Subjusto ($p < 1/2$): O processo se desloca para baixo em direção à ruína.
- Jogo Superjusto ($p > 1/2$): O processo se desloca para cima.
3. O Panorama Mais Ampliado
Embora a CAS lide com somas discretas, os processos estocásticos também abrangem modelos contínuos. Por exemplo, o Processo de Poisson ($N_t$) apresenta incrementos independentes onde $P(N_t = k) = e^{-at} \frac{(at)^k}{k!}$. Também observamos essas dinâmicas nas distribuições-alvo para amostragem MCMC, como $f(y) = e^{-y^4}(1+|y|)^3$. Esses processos frequentemente utilizam notação de transição como $v_1 = v_0 A$.